Формули скороченого множення та їх застосування
В алгебрі часто потрібно розкривати дужки, спрощувати вирази або розкладати їх на множники. Щоб не виконувати однакові обчислення щоразу, використовують формули скороченого множення.
Наприклад, вираз (a + b)(a + b) можна перемножити звичайним способом. Але значно коротше записати:
Формули скороченого множення та їх застосування стають зрозумілими, якщо розбирати кожне правило окремо: спочатку знайти частини a і b, потім підставити їх у формулу та виконати прості обчислення.
1. Що потрібно знати перед початком
У формулах букви a і b можуть позначати числа, змінні або навіть цілі вирази. Степінь показує, скільки разів число чи вираз потрібно помножити саме на себе:
Якщо у степені стоять дужки, підносити до степеня потрібно весь вираз:
Поширена помилка:
У правильній відповіді обов’язково буде середній доданок 2ab.
2. Квадрат суми та квадрат різниці
Ці дві формули дуже схожі. Відрізняється лише знак перед середнім доданком.
Квадрат суми
Квадрат суми дорівнює квадрату першого виразу, плюс подвоєний добуток першого і другого виразів, плюс квадрат другого виразу.
Приклад:
Квадрат різниці
Квадрат різниці дорівнює квадрату першого виразу, мінус подвоєний добуток першого і другого виразів, плюс квадрат другого виразу.
Приклад:
Запам’ятайте: останній доданок має знак «плюс», тому що квадрат від’ємного числа є додатним. Знаки у квадраті різниці: плюс, мінус, плюс.
3. Різниця квадратів
Різницю квадратів двох виразів можна подати як добуток їхньої різниці та суми:
Приклад: розкладемо на множники вираз x2 − 25. Число 25 — це квадрат числа 5:
Формула працює і у зворотному напрямку:
Важливо: між квадратами має стояти знак «мінус». До суми квадратів a2 + b2 ця формула не застосовується.
4. Куб суми та куб різниці
У формулах куба чотири доданки. Розбирати їх краще по черзі, не намагаючись одразу виконати все усно.
Куб суми
Приклад:
Куб різниці
Приклад:
Підказка: у кубі різниці знаки чергуються: плюс, мінус, плюс, мінус.
5. Сума та різниця кубів
Ці формули допомагають розкладати суму або різницю двох кубів на множники.
Сума кубів
Приклад: 8 = 23, тому
Різниця кубів
Приклад: 27 = 33, тому
6. Як зрозуміти, яку формулу використати
Спочатку подивіться на дужки, степінь і знак між виразами. Лише після цього починайте обчислення.
На вузькому екрані таблицю можна прокручувати вбік.
| Що бачимо | Яка це формула | Приклад |
|---|---|---|
| Дужки у квадраті зі знаком «+» | Квадрат суми | (x + 3)2 |
| Дужки у квадраті зі знаком «−» | Квадрат різниці | (x − 4)2 |
| Два квадрати та знак «−» | Різниця квадратів | x2 − 25 |
| Дужки у третьому степені | Куб суми або різниці | (x + 2)3 |
| Сума або різниця двох кубів | Сума або різниця кубів | x3 − 8 |
7. Де застосовують формули скороченого множення
Нижче подано формули скороченого множення, приклади їх використання та коротке пояснення кожного способу.
Розкриття дужок
Замість звичайного множення використовуємо готову формулу:
Розкладання на множники
Складний вираз перетворюємо на добуток:
Швидкі обчислення
Числа 49 і 51 розташовані на однаковій відстані від 50:
Розв’язування рівнянь
Розкладемо ліву частину на множники:
8. Найпоширеніші помилки
- забувають середній доданок 2ab;
- плутають квадрат суми із сумою квадратів;
- неправильно визначають знак середнього доданка;
- не підносять до степеня весь вираз;
- застосовують різницю квадратів до виразу зі знаком «плюс»;
- плутають квадрат різниці (a − b)2 і різницю квадратів a2 − b2.
Просте правило: спочатку запишіть потрібну формулу, визначте, що стоїть на місці a і b, і лише тоді підставляйте значення.
9. Усі формули в одній таблиці
Цю таблицю можна використовувати як коротку пам’ятку. На вузькому екрані вона прокручується вбік.
| Назва | Формула |
|---|---|
| Квадрат суми | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Квадрат різниці | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Різниця квадратів | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Куб суми | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Куб різниці | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Сума кубів | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Різниця кубів | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
10. Завдання для самоперевірки
Спробуйте спочатку виконати завдання самостійно, а потім перевірте відповіді.
- Розкрийте дужки: (x + 5)2.
- Розкрийте дужки: (2a − 3)2.
- Розкладіть на множники: y2 − 16.
- Обчисліть зручним способом: 99 · 101.
- Розкладіть на множники: x3 − 8.
Відповіді
- x2 + 10x + 25.
- 4a2 − 12a + 9.
- (y − 4)(y + 4).
- 9999.
- (x − 2)(x2 + 2x + 4).
Як легше запам’ятати формули
Не обов’язково намагатися вивчити всі правила за один раз. Спочатку потренуйтеся впізнавати квадрат суми, квадрат різниці та різницю квадратів. Коли ці три формули стануть зрозумілими, переходьте до кубів.
Найкращий спосіб запам’ятати формули скороченого множення — розв’язати кілька простих прикладів власноруч. Після цього довгі вирази вже не виглядатимуть складними, адже в них можна буде побачити знайоме правило.